Définition :
Soit \(f:E\to F\) une application linéaire entre deux espaces vectoriels \(E\) et \(F\)
Alors \(f\) induit l'application linéaire transposée \({{f^*}}:E^*\to F^*\) définie comme ceci : $$\begin{align} f^*(\alpha)&=\alpha\circ f\\ f^*(\alpha)(x)&=\alpha(f(x))\end{align}\quad\text{ avec }\quad\alpha\in F^*,x\in E$$
(Espace dual - Base duale, Fonction linéaire - Application linéaire - Transformation linéaire - Linéarité, Composition)
Proposition :
\(f^*\) est linéaire
Proposition :
Si \(f:E\to F\) est un isomorphisme, alors \(f^*:E^*\to F^*\) est un isomorphisme
De plus, pour une base \(\{e_i\}^n_{i=1}\) de \(E\), \(f^*(v^*_i)={{e^*_i}}\) où \(\{v_i^*\}^n_{i=1}\) est une base duale de \(\{v_i=f(e_i)\}^n_{i=1}\)
(Isomorphisme, Espace dual - Base duale)
Si \(A\) est la matrice de \(f\) dans les bases \((e_i)^n_{i=1}\) et \(\varepsilon_{i=1}^m\) de \(E\) et de \(F\) respectivement, alors \(f^*\) possède la matrice \(A^T\) dans les bases duales
(Matrice transposée)
Pour une base \(\{e_i\}^n_{i=1}\) de \(E\), \({{f^*}}(v^*_i)={{e^*_i}}\) où \(\{v_i^*\}^n_{i=1}\) est une base duale de \(\{v_i=f(e_i)\}^n_{i=1}\)
Proposition : $$\ker f^*=(\operatorname{Im} f)^o$$
(Noyau - Espace nul (algèbre linéaire), Espace dual - Base duale, Image, Annulateur)
$${{(f\circ g)^*}}={{g^*\circ f^*}}$$
$$({{f^*}})^*={{f}}$$
$${{(f^{-1})^*}}=(f^*)^{-1}$$